Apakah Alam Semesta Itu Fraktal Raksasa ? – Fraktal adalah objek yang terlihat sama pada semua skala Saya yakin banyak dari Anda pernah melihat gambar atau video fraktal, tetapi jika belum atau ingin diingatkan, lihat representasi visual yang diposting di YouTube. Sebagai seorang kosmolog yang telah mempelajari struktur alam semesta berskala besar, saya menemukan pertanyaan apakah alam semesta itu sendiri merupakan fraktal raksasa yang cukup menarik.
Sebelum kita mendalami pertanyaan ini lebih dalam, diperlukan beberapa informasi latar belakang. Kesimpulan umum dalam kosmologi adalah bahwa Alam Semesta berasal dari Dentuman Besar (Big Bang) yang menggerakkan semua materi dan energi. Meskipun awalnya hampir seragam, gangguan kuantum kecil membuat bagian tertentu di Alam Semesta sedikit lebih padat dibandingkan bagian lainnya. https://www.mrchensjackson.com/
Ketika gravitasi mengarahkan materi ke wilayah yang terlalu padat ini, struktur perlahan mulai terbentuk. Setelah miliaran tahun, struktur ini berevolusi menjadi kumpulan besar filamen dan rongga. Video simulasi Milenium berikut ini menampilkan model struktur tersebut pada skala panjang yang berbeda.
Seperti yang diperlihatkan dalam video, Alam Semesta tampak serupa pada semua skala, kecuali skala terkecil. Bahwa Alam Semesta gagal menjadi fraktal dalam skala kecil seharusnya sudah jelas. Lagi pula, tidak ada objek seukuran galaksi yang terlihat seperti gletser, pohon, atau tupai. Oleh karena itu, jika Alam Semesta memang memiliki sifat mirip fraktal, alam semesta pasti akan terurai suatu saat nanti. Di atas skala tersebut, apakah alam semesta tampak seperti fraktal? Jika ya, apakah fraktal itu berlangsung selamanya? Kalau tidak dipotong di mana. Mengapa? Bagaimana kami bisa tahu?
Inilah pertanyaan yang saya selidiki dalam posting ini. Peringatan yang adil: ini akan menjadi sangat buruk. Mereka yang cukup berani untuk melanjutkan didorong untuk mengenakan topi matematika mereka.
Salah satu cara kosmolog mengukur struktur adalah melalui statistik yang dikenal sebagai fungsi korelasi dua titik (2PCF). 2PCF mengukur probabilitas f
statistik yang dikenal sebagai fungsi korelasi dua titik (2PCF). 2PCF mengukur kemungkinan ditemukannya dua galaksi yang dipisahkan oleh jarak r melebihi perkiraan melalui kebetulan acak.
Dalam tiga dimensi fungsi korelasi dua titik sering didekati sebagai hukum pangkat,
\begin{equation} \xi(r) \propto r^{-\gamma}, \end{equation}
dimana \gamma adalah parameter yang nilainya bergantung pada sebaran galaksi tertentu. Dalam dua dimensi 2PCF w(\theta) adalah fungsi sudut,
(2) \mulai{persamaan} w(\theta) \propto \theta^{-(\gamma-1)}. \end{persamaan}
Perhatikan bahwa jika kita menambahkan jumlah dimensi Euclidean1 ke eksponen 2PCF kita memperoleh angka yang sama, 3-\gamma. Ini dikenal sebagai kodimensi. Ternyata jika Anda memiliki proses acak dengan fungsi korelasi hukum pangkat, saat Anda memproyeksikannya ke dimensi yang lebih rendah, kodimensinya tidak berubah.
Untuk lebih memahami hal ini, mari kita pertimbangkan fungsi korelasi galaksi dua titik secara lebih mendalam. Untuk menghitung nilainya pada r apa pun, kami mengisi volume simulasi dengan2 titik acak yang terdistribusi secara merata. Kami menghitung jumlah pasangan titik yang dipisahkan oleh setiap jarak r dan menggunakan hasilnya untuk mengisi apa yang disebut histogram acak-acak. Kami melakukan hal yang sama pada galaksi untuk menghasilkan data-data histogram. Rasio histogram ini, yang merupakan ukuran probabilitas yang melebihi apa yang diharapkan melalui kebetulan acak, adalah 2PCF.3
Sebagai contoh, perhatikan alam semesta tiga dimensi yang seluruh galaksinya terletak pada satu garis lurus. Kita membatasi fokus kita pada galaksi-galaksi yang terpisah sejauh r dengan membayangkan cangkang bola berjari-jari r. Satu-satunya titik data-data akan terletak saling berhadapan, mungkin terletak di kutub yang berlawanan. Jumlah pasangan galaksi akan berskala 2\lambda\, dr dengan \lambda adalah kepadatan galaksi linier. Titik-titik acak dapat terletak di mana saja dalam cangkang bola, sehingga menghasilkan jumlah pasangan yang jauh lebih besar. Jumlah pasangan ini akan berskala 4\pi r^2 \rho\, dr di mana \rho adalah kepadatan volume acak.4 Fungsi korelasi kemudian akan menjadi
\begin{persamaan} \xi=\frac{2\lambda \, dr}{4\pi r^2 \rho \, dr} \propto \frac{1}{r^2}=\left( \frac {1}{r} \kanan)^{\gamma=2}. \end{persamaan}
Dengan argumen serupa, jika seluruh massa di Alam Semesta berada pada bidang datar, maka jumlah pasangan data-data adalah 2\pi r \sigma\,dr dengan \sigma adalah kepadatan area galaksi.5 Dalam kasus ini, fungsi korelasi akan menjadi
(4) Mulailah dengan persamaan: xi=frac{2\pi r sigma,dr}{4\pi r^2 ho, dr} dan frac{1}{r}=kiri(frac{1}{r}kanan)^{gamma=1}. Terakhir, persamaan*.
Kodimensi alam semesta linier adalah 3-\gamma=1. Kodimensi alam semesta planar adalah 2.
Alasan mengapa hal ini penting adalah karena proses acak (seperti distribusi galaksi) dengan fungsi korelasi hukum pangkat memiliki banyak kesamaan dengan fraktal.6 Untuk mengetahui caranya, mari kita periksa konsep dimensi dengan lebih teliti.
